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In mwawmatematica, e più precisamente in mwbageometria differenziale, una mwbqgeodetica è la mwbgcurva più breve che congiunge due punti di uno spazio. Lo spazio in questione può essere una mwbwsuperficie, una più generale mwcavarietà riemanniana, o un ancor più generale mwcqspazio metrico. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli mwcgarchi di cerchio massimo. Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di mwcwmetrica riemanniana, che è connesso con il concetto di mwdadistanza.

In matematica, le geodetiche hanno un ruolo fondamentale nello studio delle superfici (ad esempio, quella terrestre), e delle mwdgvarietà astratte aventi mwdwdimensione 3 o maggiore. Sono importanti per descrivere alcune mweageometrie non euclidee, come la mweqgeometria iperbolica. In mwegfisica, le geodetiche ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dal momento che la mwewrelatività generale interpreta la mwfaforza gravitazionale come una deformazione dello mwfqspazio-tempo mwfgquadridimensionale.

• Introduzione

• Superfici e varietà

• Relatività generale

• Geometrie non euclidee

• Spazio metrico

• Definizione

• Esempi

• Varietà (pseudo)-riemanniana

• Minimizzare lunghezza o energia

• Esistenza e unicità di geodetiche

• Completezza

• La geodetica e la relatività generale

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il termine "geodetica" deriva da mwiageodesia, la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma del mwiqglobo terrestre; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della Terra, ossia un arco di mwigcerchio massimo. Gli archi di mwiwmeridiani e di mwjaequatore sono geodetiche, mentre gli altri mwjqparalleli no.

In mwjwmatematica, una geodetica è ancora una mwkacurva che descrive (almeno localmente) il cammino più breve su un dato spazio. Lo spazio in esame può essere una mwkqsuperficie contenuta nello spazio tridimensionale, o una più generale mwkgvarietà riemanniana, ovvero uno "spazio curvo" astratto di dimensione arbitraria.

Le geodetiche hanno assunto un significato mwnafisico importante all'inizio del mwnqXX secolo, per il loro ruolo nella mwngrelatività generale. Secondo la relatività, lo mwnwspaziotempo è infatti uno spazio "curvo" di dimensione 4, in cui le geodetiche descrivono la traiettoria di un mwoapunto materiale in presenza di un mwoqcampo gravitazionale. Sono quindi geodetiche le traiettorie di un sasso che cade, di un mwogsatellite in orbita e persino di un raggio di luce.

La curvatura dello spaziotempo è causata dalla presenza di mwpamassa, come suggerito in figura. La traiettoria di un raggio di luce, come quella di qualsiasi oggetto, è quindi determinata dalla distribuzione della massa nello spazio. La relazione precisa fra massa e curvatura è espressa dalla mwpqequazione di campo di Einstein.

Una geodetica è mwrwcompleta se si estende indefinitamente in entrambe le direzioni. Le geodetiche del piano euclideo sono quindi le rette, di lunghezza infinita in ambo le direzioni.

Le geodetiche su un più generale spazio soddisfano spesso tutti i mwsqpostulati di Euclide richiesti per le rette nel piano, eccetto il mwsgV postulato, riguardante le rette mwswparallele. In questo modo è quindi possibile costruire numerose mwtageometrie non euclidee, con comportamenti qualitativamente molto differenti fra loro.

Il V postulato dice che per ogni retta e ogni punto non contenuto in questa, esiste mwtgesattamente una retta passante per il punto parallela alla prima. Lo stesso enunciato espresso per le geodetiche (dove "parallele" vuol dire "che non si intersecano") è infatti falso in molti casi. Ad esempio, non esistono geodetiche parallele nella mwtwsfera (due cerchi massimi si incontrano sempre), mentre se ne trovano infinite nello mwuaspazio iperbolico.

In uno spazio non euclideo, molti dei teoremi della mwwageometria piana non sono più validi. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un mwwqtriangolo, i cui lati sono 3 geodetiche, può essere diversa da mwwg π π {\displaystyle \pi } . Ad esempio, sulla mwwwsfera questa somma è sempre superiore a mwxa π π {\displaystyle \pi } .

Su un generale mwyaspazio metrico mwyq X {\displaystyle X} , una mwyggeodetica è una mwywcurva

mwzg γ γ : I → → X {\displaystyle \gamma :I\to X}

definita su un mwaaintervallo mwaq I {\displaystyle I} della mwagretta reale mwaw R {\displaystyle \mathbb {R} } , che realizzi localmente la distanza fra punti. Più precisamente, ogni punto mwba t {\displaystyle t} dell'intervallo ha un mwbqintorno mwbg J {\displaystyle J} in mwbw I {\displaystyle I} tale che per ogni coppia mwca t 1 {\displaystyle t_{1}} e mwcq t 2 {\displaystyle t_{2}} di punti in mwcg J {\displaystyle J} vale l'uguaglianza

mwdq d ( γ γ ( t 1 ) , γ γ ( t 2 ) ) = | t 1 − − t 2 | . {\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=|t_{1}-t_{2}|.}

Se questa uguaglianza è valida per ogni coppia di punti mwdw t 1 {\displaystyle t_{1}} e mwea t 2 {\displaystyle t_{2}} in mweq I {\displaystyle I} , la geodetica è mwegminimizzante: in questo caso la geodetica realizza la minima distanza non solo localmente, ma globalmente.

Generalmente, nella definizione di geodetica, si ammette nell'uguaglianza la presenza di una costante moltiplicativa al secondo membro, in analogia con la definizione data per le mwfavarietà riemanniane. Questa costante può però essere sempre ridotta a uno dopo aver riparametrizzato la curva secondo la sua lunghezza d'arco.

Una mwfggeodetica chiusa è una curva

mwgq γ γ : S 1 → → X {\displaystyle \gamma :S^{1}\to X}

definita sulla mwgwcirconferenza mwha S 1 {\displaystyle S^{1}} , che è una geodetica se ristretta a qualsiasi arco contenuto in mwhq S 1 {\displaystyle S^{1}} .

Le geodetiche nello mwiaspazio euclideo mwiq R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sono i segmenti, cioè le porzioni di rette. Sono tutte del tipo

mwja γ γ ( t ) = v + t ( w − − v ) {\displaystyle \gamma (t)=v+t(w-v)}

dove mwjg v {\displaystyle v} e mwjw w {\displaystyle w} sono due vettori dello spazio. Questa rappresentazione è parametrizzata secondo la lunghezza d'arco se e solo se mwka | w − − v | = 1 {\displaystyle |w-v|=1} .

Una mwkwvarietà riemanniana o mwlapseudoriemanniana è in particolare uno mwlqspazio metrico, e quindi la nozione di geodetica è definitacite-ref-1[1].

La traiettoria più breve tra due punti su di uno spazio curvo può essere trovata scrivendo l'equazione della lunghezza di una curva, e minimizzando poi tale lunghezza tramite tecniche standard del mwnacalcolo delle variazioni.

La lunghezza di una curva

mwoa γ γ : [ a , b ] → → M {\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}

su una mwogvarietà riemanniana mwow M {\displaystyle M} è data dall'equazione

mwpg L ( γ γ ) = ∫ ∫ a b | γ γ ′ ( t ) | d t . {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt.}

La geodetica risulta essere una curva che, all'interno dello spazio di tutte le curve aventi estremi fissati, è punto di minimo, o più generalmente un mwqapunto stazionario, per la funzione "lunghezza"

mwqw L : γ γ → → L ( γ γ ) . {\displaystyle L:\gamma \to L(\gamma ).}

Il concetto di "punto stazionario" deve però essere espresso con cautela, perché lo "spazio di tutte le curve" è un oggetto abbastanza complesso, avente intrinsecamente dimensione infinita. A questo scopo viene in aiuto il mwrqcalcolo delle variazioni.

Equivalentemente, si può utilizzare un'altra quantità, detta l'mwrwenergia della curva:

mwsg E ( γ γ ) = 1 2 ∫ ∫ a b | γ γ ′ ( t ) | 2 d t . {\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|^{2}\,dt.}

I due concetti portano allo stesso risultato: le geodetiche sono punti stazionari sia per la lunghezza che per l'energia. Intuitivamente, ciò può essere compreso dal fatto che un elastico teso fra due punti contrae la propria lunghezza, e così facendo minimizza anche la propria mwtaenergia potenziale; la forma risultante dell'elastico è comunque una geodetica.

Per ogni punto mwtw p {\displaystyle p} di una varietà riemanniana mwua M {\displaystyle M} , e per ogni vettore non nullo mwuq v {\displaystyle v} dello mwugspazio tangente mwuw T p {\displaystyle T_{p}} in mwva p {\displaystyle p} , esiste esattamente una geodetica completa passante per mwvq p {\displaystyle p} e tangente a mwvg v {\displaystyle v} .

Esistono cioè mwwa a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} e una geodetica

mwww γ γ : ( − − a , b ) → → M {\displaystyle \gamma :(-a,b)\to M}

con mwxq γ γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p} e mwxg γ γ ′ ( 0 ) = v {\displaystyle \gamma '(0)=v} , tale che ogni altra geodetica con queste ultime due proprietà è la stessa mwxw γ γ {\displaystyle \gamma } definita su un sotto-intervallo di mwya ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . I valori mwyq a {\displaystyle a} e mwyg b {\displaystyle b} possono anche essere infiniti.

L'esistenza e unicità derivano dal fatto che una geodetica è soluzione di un particolare mwzaproblema di Cauchy del secondo ordine.

Se il vettore mwzg v {\displaystyle v} è moltiplicato per uno scalare, la geodetica corrispondente è anch'essa riscalata (e invertita, se lo scalare è negativo). Si può quindi dire che, come nella mwzwgeometria piana, per ogni punto e per ogni direzione esiste un'unica geodetica completa passante per il punto e orientata lungo quella data direzione. Secondo questa linea, viene definita la mw0amappa esponenziale.

Per il mw0wteorema di Hopf-Rinow, una varietà riemanniana mw1a M {\displaystyle M} è mw1qcompleta se e solo se ogni geodetica può essere prolungata indefinitamente in entrambe le direzioni. In questo caso, i valori mw1g a {\displaystyle a} e mw1w b {\displaystyle b} ricavati nella sezione precedente sono sempre infiniti.

mw2gN.b.: di seguito vengono utilizzate le mw2wcoordinate mw3a { x μ μ } = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x , y , z , c t ) {\displaystyle \{x^{\mu }\}=(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4})=(x,y,z,ct)} . La mw3qsegnatura della metrica piatta è mw3g ( + , + , + , − − ) {\displaystyle (+,+,+,-)} .

Nel suo libro "La teoria della relatività", mw4aAlbert Einstein, il primo scienziato ad aver utilizzato le geodetiche in fisica, dà la seguente definizione:

mw4w δ δ ∫ ∫ P 1 P 2 d s = 0 {\displaystyle \delta {\int _{P_{1}}^{P_{2}}ds}=0} .

Essa rappresenta una linea (non un'area) tracciata fra due punti mw5q P 1 {\displaystyle P_{1}} e mw5g P 2 {\displaystyle P_{2}} del continuo quadridimensionale (tre dimensioni dello spazio e una del tempo).

Le curve che passano per detti punti sono infinitamente vicine alla geodetica. Esprimendole in forma parametrica e con altre 2 pagine circa di passaggi, Einstein deduce l'equazione della geodetica:

mw6g d 2 x τ τ d s 2 + Γ Γ τ τ μ μ ν ν d x μ μ d s d x ν ν d s = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0} .

Secondo la mw7arelatività ristretta, un corpo non soggetto a forze esterne si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme. Ciò è anche il principio di relatività mw7qgalileiana, cui Einstein aggiunse un'informazione: è valido soltanto in assenza di campo gravitazionale (ciò che caratterizza le regioni dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta).

In un sistema di riferimento collocato in una regione dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale), l'equazione che descrive un mw7wmoto rettilineo uniforme è una geodetica.

Poiché la geodetica è definita indipendentemente dal mw8qsistema di coordinate, e quindi anche l'equazione della geodetica, tale legge vale per un sistema di riferimento arbitrario. Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

mw9a d 2 x τ τ d s 2 + Γ Γ τ τ μ μ ν ν d x μ μ d s d x ν ν d s = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0} .cite-ref-2[2]

Imporre che il generico mw-gsimbolo di Christoffel, un ente matematico, sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un mw-wesperimento mentale e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente.

Bisogna ricordare che l'elemento lineare mw-q d s {\displaystyle ds} (v.relatività generale) misura qualsiasi variazione nello spazio e nel tempo. Se mw-g d x {\displaystyle dx} è una generica coordinata, il fatto che la derivata seconda rispetto all'elemento lineare è nulla significa che il corpo si muove nello spazio e nel tempo secondo incrementi costanti, che né crescono né diminuiscono.

L'annullamento della derivata seconda significa che il moto non subisce variazioni nello spazio (è rettilineo) e nel tempo (uniforme). Questo avviene nelle regioni di spazio tempo in cui le componenti gravitazionali sono nulle, ovvero

mwaqi g μ μ ν ν = [ ( + 1 ) 0 0 0 0 ( + 1 ) 0 0 0 0 ( + 1 ) 0 0 0 0 ( − − 1 ) ] {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}(+1)&0&0&0\\0&(+1)&0&0\\0&0&(+1)&0\\0&0&0&(-1)\end{bmatrix}}} .

Bisogna notare che la componente temporale mwaqq g 44 {\displaystyle g_{44}} ha segno opposto rispetto alle componenti spaziali, come detto in commento all'equazione per misurare il mwaqu d s {\displaystyle ds} .

Einstein commenta a proposito: «le componenti del campo gravitazionale sono le quantità che caratterizzano lo scostamento del moto rettilineo uniforme». Non bisogna confondere la presenza di una forza gravitazionale (possibile anche in un moto rettilineo) dall'azione di un campo gravitazionale, che richiede una variazione di questa forza. L'equazione contiene le derivate prime delle componenti della gravità.

Mediante una semplice «sostituzione comunque scelta», lo stesso moto del punto materiale libero, osservato da un altro sistema di riferimento, diviene curvilineo non uniforme, con una legge non più dipendente dalla natura fisica del punto materiale che si muove. La legge del moto (rettilineo uniforme quando le componenti sono costanti) cambia radicalmente nelle nuove coordinate. Il moto rettilineo uniforme dipendente dalle proprietà della massa, diviene un moto curvilineo non uniforme indipendente dalle proprietà fisiche dell'oggetto in movimento. Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica mwaqgmassa, in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

L'effetto di un nuovo campo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile all'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione né del corpo né delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contraddittorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasformazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla ovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al mwaqomodulo del moto (mwaqsvelocità e mwaqwaccelerazione) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente mwaq0verso e mwaq4direzione.

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

La deformazione del moto uniforme viene, quindi, interpretato come un effetto della gravitazione, «che occupa una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni mware g μ μ ν ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà dello spazio quadridimensionale».

Quindi, tali componenti sembrano più importanti di ogni altra forza della fisica, mentre la componente temporale appare la più rilevante di queste.

Quando le componenti sono costanti, gli effetti della gravitazione vengono trascurati (ciò non significa affatto che il moto avvenga in assenza di una forza di gravità misurabile). Per dedurre la mwarqformula di Newton, che considera tali effetti, è necessario rilasciare le ipotesi e considerare un sistema di riferimento in cui le componenti variano; per un rilascio graduale, si considerano sistemi in cui variano di piccole quantità, e che all'infinito spaziale tendono ancora ai valori della matrice. «In altre parole stiamo esaminando campi gravitazionali, generati esclusivamente da materia che si trova al finito», come quelli della teoria newtoniana.

Con riferimento all'equazione precedente, tre delle componenti mwary d x μ μ / d s {\displaystyle dx^{\mu }/ds} possono assumere qualsiasi valore, raggiungendo qualunque velocità adimensionale mwarc γ γ {\displaystyle \gamma } p purché inferiore alla mwargvelocità della luce (ossia mwark γ γ < 1 {\displaystyle \gamma <1} ). Nel sistema di riferimento adottato in tutta la relatività, la velocità è misurata da un numero puro, che vale 1 alla velocità della luce, che è la massima raggiungibile (quindi varia tra 0 e 1). Oltreché per una comodità di calcolo, la velocità è espressa come percentuale della velocità della luce, perché questa l'unica costante il cui valore di velocità resta invariato in qualunque sistema di riferimento.

mwarw γ γ = [ d x 1 / d x 4 ] 2 + [ d x 2 / d x 4 ] 2 + [ d x 3 / d x 4 ] 2 ] {\displaystyle \gamma ={\sqrt {[dx^{1}/dx^{4}]^{2}+[dx^{2}/dx^{4}]^{2}+[dx^{3}/dx^{4}]^{2}]}}} .

«Qualora ci si limiti al caso che quasi esclusivamente si presenta all'esperienza, in cui mwar4 γ γ {\displaystyle \gamma } è piccolo rispetto alla velocità della luce», queste tre componenti sono mwar8infinitesimi del secondo ordine (hanno esponente pari a 2), trascurabili in prima approssimazione (vengono eliminati dal calcolo).

Nello studio del differenziale si è soliti iniziare dallo studio del differenziale primo. Limitandosi ai termini di ordine più basso, si ottiene inizialmente un'analisi più semplice, che considera meno termini. Adottare il punto di vista della prima approssimazione, significa troncare lo sviluppo al primo ordine (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo).

A questo punto, la sola componente rilevante è quella temporale. Bisogna notare che in queste righe di ipotesi, Einstein sta presentando la relatività come una generalizzazione alle alte velocità della gravitazione di Newton, che restava confinata all'esperienza quotidiana in cui le velocità sono molto minori della luce. Questo significa imporre mwasi γ γ ≪ ≪ 1 {\displaystyle \gamma \ll 1} , per cui i componenti di mwasm γ γ {\displaystyle \gamma } divengono degli infinitesimi.

L'equazione del moto del punto libero si riduce a:

mwasc d 2 x τ τ / d t 2 = Γ Γ τ τ 44 {\displaystyle d^{2}x^{\tau }/dt^{2}=\Gamma ^{\tau }{}_{44}} ,

avendo posto (ed essendosi ridotto) mwask d s = d x 4 = d t {\displaystyle ds=dx_{4}=dt} .

Sempre nell'ipotesi di campo gravitazionale quasi-statico, ossia generato da un moto di materia lento rispetto alla velocità della luce, le derivate miste (del tempo rispetto alle coordinate spaziali) sono trascurabili, l'equazione del moto diviene:

mwas0 d 2 x τ τ / d t 2 = 1 2 δ δ g 44 δ δ x τ τ , τ τ = 1 , 2 , 3 {\displaystyle d^{2}x^{\tau }/dt^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {\delta g_{44}}{\delta x^{\tau }}}\,,\quad \tau =1,2,3} .

La formula avrebbe lo stesso significato della gravitazione newtoniana, non deduce per via teorica il valore della costante, il quale resta non un risultato teorico, ma un numero misurato solamente per via sperimentale. Einstein riesce a dare una mwas8dimostrazione teorica della mwatalegge di gravità, pur non ricavandone la costante.

«Questa è l'equazione del moto del punto materiale in base alla teoria di Newton, in cui mwati g 44 / 2 {\displaystyle g_{44}/2} rappresenta il mwatmpotenziale mwatqgravitazionale».

cite-note-11. ↑ Viene qui usata la definizione in cui al secondo membro può apparire una costante moltiplicativa: questa definizione è più utile in una varietà.

cite-note-22. ↑ Nell'originale il simbolo di Christoffel è così indicato: mwat4mwat8mwaua mwaue mwaui mwaum mwauq mwauuΓ Γ mwauy mwaucτ τ mwaug mwauk mwauo mwausμ μ mwauwν ν mwau0= mwau4{ mwau8 mwava mwave mwavi mwavm mwavqτ τ mwavu mwavy mwavcμ μ mwavgν ν mwavk} mwavo{\displaystyle \Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }=\{{\begin{smallmatrix}\tau \\\mu \nu \end{smallmatrix}}\}}

• mwav8(EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.

• mwawe(EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

• mwawyGeodesia

• mwawgEffetto geodetico

• mwawoMappa esponenziale

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla geodetica

• citerefbritannica-com(EN) geodesic, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Geodesic, su MathWorld, Wolfram Research.